Описание ветрового стекла при определении безопасности автомобиля — Часть 1. Общие черты ветровых стекл

Июнь 18th, 2013

При описании исходных данных, характеризующих поверхность ветрового стекла, необходимо представить их как последовательность координат точек или, использовать аналитическое представление поверхности и границ стекла. Часто априори трудно выбрать удовлетворительный метод аппроксимации, поэтому целесообразен метод наиболее экономный в отношении ручной подготовки исходных данных для ЭЦВМ. В этом случае необходимо эффективно использовать доступную информацию, представленную в виде чертежей с проекциями ветрового стекла.

При всем многообразии ветровых стекол легковых автомобилей можно отметить их общие черты: стекло симметрично относительно продольной вертикальной плоскости автомобиля, проекции кромок и линии средней кривизны стекла с достаточной степенью точности могут быть описаны с помощью кубических сплайнов. Метод приближения и сглаживания исходных кривых на основе сплайн — аппроксимации позволяет свести к минимуму объем входной информации.

Кубическим сплайном называется функция ф(х), соединяющая N точек: х1 х2, х3, хN, имеет на заданном участке (х1, xN) непрерывные первую и вторую производные и на отрезках (xI, xI+1) равна многочлену третьей степени.

Кубический сплайн с коэффициентами кубического полинома A, B, C и D

Описание ветрового стекла при определении безопасности автомобиля - Часть 1. Общие черты ветровых стекл

Этот сплайн обеспечивает совпадение с исходной функцией, а также непрерывность 1-й и 2-й производных в заданных точках соединения. Коэффициенты кубического полинома (1) на отрезке (xI, xI+1) однозначно определяются, если на его концах известны значения функции и ее первых производных. Используя для монотонного аргумента xI<xI+1 интерполяционную формулу Эрмита, которая требует, чтобы в узлах интерполяции совпадали значения не только функции, но и ее 1-й производной, можно записать два отрезка (xI-1, xI) (где i= 1, 2, …, n-1):

Описание ветрового стекла при определении безопасности автомобиля - Часть 1. Общие черты ветровых стекл

Описание ветрового стекла при определении безопасности автомобиля - Часть 1. Общие черты ветровых стекл

Где y — текущая ордината точек ветрового стекла; h=xI—xI+1, xI-1≤x≤xI.

Описание ветрового стекла при определении безопасности автомобиля - Часть 1. Общие черты ветровых стекл

Описание ветрового стекла при определении безопасности автомобиля - Часть 1. Общие черты ветровых стекл

Из условий сплайна можно получить равенство вторых производных в каждой внутренней узловой точке:

Аналогично можно написать интерполяционный многочлен Эрмита для отрезка xI—xI+1. Полагая Δy=yI—yI-1 и ΔyI+1=yI+1—yI и дифференцируя дважды ф(x), получим на отрезке xI-1—xI (где i=2, 3,…, n-1)

Где ф"(xI) —вторая производная для i-го узла, вычисленная на отрезке xI1—xI; ф"(xI+) —вторая производная для i-ro узла, вычисленная на отрезке xI—xI+1.

Приравнивая значения вторых производных, получим уравнение относительно неизвестных yI‘ (i=2, 3, 4, …, n-1):

Описание ветрового стекла при определении безопасности автомобиля - Часть 1. Общие черты ветровых стекл

Совокупность уравнений (2) для каждой внутренней узловой точки (i=2, 3, 4, …, n-1) образует трехдиагональную систему линейных уравнений. При этом считается, что значения первых производных E1 и ЕN соответственно в первой х1 и последней хN точках известны.

Добавляя два граничных условия y1‘=E1 и уN‘=ЕN, переходим к системе n уравнений, которые могут быть решены относительно первых производных в узловых точках.

Для решения трехдиагональной системы n-линейных уравнений используется эффективный алгоритм, который называется методом прогонки. Метод прогонки является наиболее важным частным случаем метода Гаусса и применяется для систем линейных уравнений с трехдиагональной матрицей:

Описание ветрового стекла при определении безопасности автомобиля - Часть 1. Общие черты ветровых стекл

Описание ветрового стекла при определении безопасности автомобиля - Часть 1. Общие черты ветровых стекл

Где aI, bI, cI — коэффициенты линейного уравнения.

Описание ветрового стекла при определении безопасности автомобиля - Часть 1. Общие черты ветровых стекл

Отсюда определяем xI через xI+1:

Описание ветрового стекла при определении безопасности автомобиля - Часть 1. Общие черты ветровых стекл

Уменьшив индекс в формуле (4) на единицу и подставив в уравнение (3), получим:

Описание ветрового стекла при определении безопасности автомобиля - Часть 1. Общие черты ветровых стекл

Чтобы выражение (5) совпало с (4), необходимо равенство дробей правой части (5) соответственно ξI+1 и ηI+1. Отсюда получаем выражения для определения коэффициентов при прямом ходе:

Описание ветрового стекла при определении безопасности автомобиля - Часть 1. Общие черты ветровых стекл

В результате решения методом прогонки получим вектор первых производныхyI‘ (i=1, 2, …, n) в узловых точках сплайна. Значения функции сплайна внутри каждого отрезка (xI-1, xI) определяются из многочлена (1), коэффициенты которого вычисляются в соответствии с равенством (2), т. е.

Описание ветрового стекла при определении безопасности автомобиля - Часть 1. Общие черты ветровых стекл

Описание ветрового стекла при определении безопасности автомобиля - Часть 1. Общие черты ветровых стекл

Рубрики: Безопасность конструкции автомобиля | Теги: , , , ,