Электрическое торможение электродвигателей троллейбусов — Часть 3 из 6: Дифференциальные уравнения для оценки электрической устойчивости и качества переходных процессов

Троллейбусы

Непосредственное суждение по вопросу электрической устойчивости и качества переходных процессов может быть получено в результате составления дифференциальных уравнений всех исследуемых контуров и анализа корней характеристического уравнения. Для проверки качества переходных процессов при уравнениях не свыше второго и третьего порядков построение кривых переходного процесса часто выполняют на основе исходных дифференциальных уравнений.

В результате совместного решения уравнений контуров получается уравнение высшего порядка относительно переменного параметра одного из контуров, например, тока в цепи якоря электродвигателя троллейбуса.

Общее линейное дифференциальные уравнение может, например, иметь вид:

Формула (8)

где n — порядок высшей производной (порядок уравнения);
a0, a1, …, an, c — постоянные коэффициенты.

Общее решение этого уравнения:

Формула (9)

где Iт.у — установившееся значение тока в контуре при t → ∞;
A1, A2, …, An — постоянные коэффициенты;
p1, p2, …, pn — корни уравнения, в общем случае комплексные:

Формула

Эти корни находят из характеристического уравнения, в котором производные уравнения (8) заменяются степенными функциями, а правая часть приравнивается нулю, т. е.:

Формула (10)

Для обеспечения электрической устойчивости необходимо, чтобы переменные составляющие правой части уравнения (9) стремились к нулю при t → ∞, т. е. IIт.у. Для этого достаточно, чтобы вещественные части всех корней (p1, p2, …, pn) были отрицательные, т. е. α1, α2, …, αn < 0.

У дифференциальных уравнений третьего и более высоких порядков определение корней характеристического уравнения требует весьма большой расчетной работы. В этом случае исследование целесообразно проводить или при помощи вычислительной машины, или пользоваться косвенными методами, позволяющими произвести оценку электрической устойчивости и переходных процессов без нахождения корней характеристического уравнения.

Методы оценки устойчивости по различным критериям и исследование качества переходных процессов изложены в литературе по автоматическому регулированию. Для уравнений со степенью не выше четвертого порядка наиболее удобным для оценки устойчивости является критерий Гурвица.

Критерий записывается в виде таблицы Гурвица, состоящей из n столбцов и строк, где n — степень дифференциального уравнения. Первая строка образуется из коэффициентов характеристического уравнения с нечетными индексами, начиная с a1 вторая строка — из коэффициентов с четными индексами, начиная с a0. Далее строки записываются в том же порядке так, чтобы по диагонали таблицы расположились коэффициенты в последовательности a1, a2, a3, …, an. Места коэффициентов с индексами меньше a0 и больше an заменяются нулями. Например, таблица Гурвица для уравнения четвертого порядка запишется так:

Формула (11)

Из этой таблицы составляются очерченные прямыми определители Гурвица. Критерий устойчивости формулируется следующим образом.

Система устойчива, если a0 > 0 и все определители Гурвица больше нуля. Отсюда необходимым условием устойчивости является то, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были положительные.

Для уравнений первого и второго порядков этого условия достаточна для обеспечения устойчивости.

Для уравнения третьего порядка устойчивость обеспечивается при:

Формула (12)

а для уравнения четвертого порядка:

Формула (13)

Схема будет на границе устойчивости, когда высший определитель Гурвица равен нулю:

Формула (14)

При an = 0 один из корней характеристического уравнения равен нулю (система находится на грани апериодической устойчивости).

При равенстве нулю определителя (Δn–1 = 0) два сопряженных корня характеристического уравнения находятся на мнимой оси (система находится на грани колебательной устойчивости).

Все части: 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6